Christian Bennet är filosof och specialiserad på bland annat matematikens filosofi. Här diskuterar han vad matematik egentligen är och handlar om.
De flesta vetenskapsområden handlar i en, åtminstone ytligt betraktat, ganska direkt mening om verkligheten. Fysik handlar om kroppars rörelse i termer av massa, krafter och hastigheter, om universums uppbyggnad, elektricitet, magnetism och liknande. Kemi handlar om olika ämnens inre struktur och interaktion i form av olika processer och sociologi handlar om människans beteende och reaktionsmönster i grupp. Allt detta är fenomen som vi dagligdags kommer i kontakt med och har en bild av. Men vad handlar matematik om?
Ett naturligt svar skulle kunna ligga i linje med beskrivningen av andra vetenskaper. Precis som fysikern, kemisten och sociologen väljer ut en del av verkligheten och försöker beskriva och förklara den, så väljer även matematikern ut en del av verkligheten och försöker beskriva och förklara den. Fysikern kan ställa frågor om planetsystemet och förklara planeters rörelse i termer av Newtons rörelselagar (om vi håller oss till klassisk mekanik), kemisten kan förklara fenomen inom termokemin utifrån Hess lag och sociologen försöker kanske formulera lagar för hur normer och social integration uppstår i ett samhälle. I liknande termer skulle matematikern välja ut en matematisk struktur och försöka beskriva den i termer av matematiska samband. Exempelvis skulle talteoretikern kunna välja de naturliga talen 0, 1, 2, … och aritmetiska operationer som addition och multiplikation som sitt studieobjekt och sedan försöka formulera en teori som på ett uttömmande sätt beskriver denna struktur.
Men det finns en uppenbar skillnad mellan fysiken, kemin eller sociologin å ena sidan och matematiken å den andra. När det gäller de förstnämnda vetenskaperna så är de i grunden empiriska. Det är, i alla fall ytligt sett, lätt att peka ut vad det är som vi vill förklara eller beskriva. Världen runt omkring oss utgör ett facit till vad som är sant. Detta gäller inte på samma sätt matematiken. Tvärtom är matematiken i grunden abstrakt, även om också de matematiska begreppen i vissa fall är hämtade så att säga med inspiration från världen runt omkring oss.
Tag ett enkelt begrepp som triangel. Alla vet vi att vinkelsumman i en triangel motsvarar två räta vinklar. Samtidigt tänker vi oss ofta trianglar som figurer ritade i verkligheten, kanske på ett papper. Nu har trianglar i verkligheten sällan, om någonsin, just denna vinkelsumma eftersom vi inte kan rita med sådan precision (eller för att rummet i själva verket är relativistiskt krökt). I stället blir då triangel ett abstrakt begrepp och ritade trianglar är illustrationer eller ofullständiga representationer av detta begrepp. Men hur har vi tillgång till det abstrakta begreppet, hur vet vi att vi alla har samma begrepp triangel i tankarna och vad utgör facit till vad som är sant om trianglar?
I vissa speciella fall kan vi faktiskt ge ett svar på sådana frågor. Talteoretikern, som vill beskriva de naturliga talen med basala operationer som addition och multiplikation, kan faktiskt i en mening veta vilken struktur hen vill beskriva. Omkring 1880 formulerade Richard Dedekind ett litet antal axiom som (igen ytligt sett) kan ses vara sanna om de naturliga talen och som han dessutom visade vara sanna bara om de naturliga talen. Dedekinds aritmetik är alltså en teori som bevisbart beskriver precis de naturliga talen. Ett påstående om naturliga tal är sant om och endast om det följer ur Dedekinds axiom. Exempelvis följer det ur Dedekinds axiom att talet 2 147 483 647 är ett primtal, vilket är principiellt enkelt att kontrollera, och att det finns oändligt många primtal, vilket också är sant men inte lika enkelt kan kontrolleras. Andra påståenden, som att alla jämna tal större än 2 är summan av två primtal, följer ur teorin om och endast om de är sanna, men här vet vi inte ännu om de följer eller inte.
På ett liknande sätt förhåller det sig med geometrin. David Hilbert axiomatiserade olika geometrier i slutet av 1800-talet, däribland den euklidiska geometrin i vilken vinkelsumman i alla trianglar motsvarar två räta vinklar. Även denna teori ger en precis beskrivning av ett geometriskt rum, men i det här fallet är det inte den geometrin som bäst beskriver vårt universum. Att beskriva en matematisk struktur är alltså inte detsamma som att denna struktur är lämplig när det gäller att beskriva världen omkring oss. Matematiken måste alltså skiljas från dess tillämpning.
Men om nu matematiken inte handlar om världen, om vad handlar den då? Här ger olika matematikfilosofier olika svar och i själva verket är det två olika frågor som behöver besvaras för att klargöra vad matematik är eller kan vara: den ontologiska frågan Vad är ett matematiskt objekt? och den kunskapsteoretiska frågan Hur når vi kunskap om matematiska objekt?
Platon ger ett tydligt svar på den ontologiska frågan: Matematiska objekt är ideala, objekt med självständig, av människan oberoende existens. Ett matematiskt påstående är alltså sant om det förhåller sig i denna abstrakta verklighet på det sätt som påståendet säger. Däremot har han inget tydligt svar på frågan hur vi har tillgång till den matematiska verkligheten. Ett sådant svar försöker i stället Immanuel Kant ge: Matematisk kunskap är a priori, det vill säga kunskap som vi har oberoende av den empiriska verkligheten. När det gäller matematiken kan vi ha a priori-kunskap genom att matematiska objekt är konstruerade av oss och att vi har direkt tillgång till våra konstruktioner. Kants resonemang leder alltså till en konstruktivistisk syn på matematiska objekt, de är mänskliga konstruktioner.
En konstruktivistisk syn på matematiken kan dock leda till grundläggande problem gällande begreppet sanning. Den holländske logikern L. E. J. Brouwer tog Kants tankegångar ad notam och betraktade matematiska objekt som mentala konstruktioner. För honom innebär det att ett matematiskt objekt bara kan ha de egenskaper som det har som konstruktion. I förlängningen innebär det att ett påstående inte är sant förrän en individ erfar det som sant. Exempelvis är påståendet Decimalutvecklingen av π innehåller en obruten sekvens av 10 000 ettor inte sant, för vi har ännu inte hittat en sådan sekvens. Men inte heller är Decimalutvecklingen av π innehåller inte en obruten sekvens av 10 000 ettor sant, eftersom vi inte vet om det uppenbarar sig en sådan sekvens i framtida beräkningar. Därmed är lagen om det uteslutna tredje inte giltig, det vill säga p eller inte p är inte en logisk sanning. Priset för en konstruktivistisk syn på matematiken är alltså att vi måste överge den klassiska logiken – ett för de flesta matematiker beskt piller att svälja.
Ytterligare en väg att gå är att helt överge tanken på att matematiken, i alla fall på en lite mer avancerad nivå, har ett innehåll utöver den rena syntaxen. Formalisten tänker sig här att matematiken mer liknar ett spel med symboler, där logiken tillsammans med strikta definitioner utgör spelets regler. För formalisten kan frågan Vad handlar matematiken om? jämställas med frågan Vad handlar svenska om? Båda är lika meningslösa. Ett språk har i sig inget eget innehåll, utan olika innehåll uttrycks i språket beroende av vad man talar om. Matematikerns uppgift är att, i stället för att fråga efter sanning, reda ut vilka formler som följer av givna axiom i enlighet med logikens bevisregler. I princip är då vilket axiomsystem som helst tillåtet, så länge det bara är konsistent, det vill säga så länge det inte leder till motsägelser. I ett system där motsägelser kan bevisas, kan alla formler bevisas och då är systemet inte intressant. Detta innebär att formalisten gärna fokuserar på begreppet konsistens, motsägelsefrihet. Tankegångar som dessa ledde i början av 1900-talet till ett fokus på frågor om hur konsistens skulle kunna bevisas med metoder som bara utgår från den mest grundläggande logiken och matematiken. I en mening kan man säga att Kurt Gödel 1930 med sina så kallade ofullständighetssatser bevisade att inte ens elementär talteori kan visas vara motsägelsefri med elementära metoder.
Matematiken kan alltså vara svår att beskriva innehållsligt men för många ter den sig såväl självklar som svårbegriplig. Det finns få påståenden som vi alla är så övertygade om att de är sanna, som enkla matematiska påståenden av typen 5 · 3 = 15. Den som på allvar hävdar att detta påstående är falskt måste mena något annat med påståendet än vad vi vanligen gör, den personen talar ett annat språk än vi. Samtidigt är det få som egentligen kan förklara vad påståendet uttrycker. Få kan förklara vad multiplikation är för en operation eller vad ett tal är. Ofta lär vi oss den basala matematiken med hjälp av metaforer av olika slag. Vi kanske lär oss att addition är att ”lägga ihop” och att multiplikation är upprepad addition: 5 · 3 = 5 + 5 + 5 eller kanske 5 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3. När vi sedan skall förstå 0,5 · π duger inte den metaforen och vi kanske lär oss via geometri och rektanglars area. Skall vi sedan multiplicera negativa tal får läraren igen byta metafor och tar kanske till negativa tal som minusgrader. Men inte heller det duger; vad i all världen är en kvadratgrad? I skolan lotsas vi genom matematiken med hjälp av metaforer snarare än definitioner och trots att metaforerna växlar lär vi oss en hel del matematik, i alla fall gör de flesta det. Vi lyckas alltså helt uppenbart förstå de grundläggande matematiska begreppen och lärare bedömer, ja till och med betygsätter, i vad mån deras elever har förstått rätt. Realisten skulle kanske, med Platon, säga att vi lär oss att med vårt förnuft få tillgång till en abstrakt matematisk verklighet. Kantianen skulle kanske snarare säga att det beror på att våra hjärnor fungerar på ungefär likartade sätt, varför vi konstruerar likartade, eller till och med samma, matematiska objekt. Vad matematiken handlar om har alltså inget enkelt svar, utan frågan besvaras olika inom olika matematikfilosofiska skolor.
Vi lämnar den innehållsliga frågan där och återvänder till frågan om matematikens förhållande till världen. Hur kan man, oavsett ontologi, förklara att matematiken är så väl tillämpbar på verkligheten? För matematiken är verkligen tillämpbar. Det är inte bara så att matematiken utgör en viktig ingrediens i det vetenskapliga språket, det är till och med så att den matematiska beskrivningen av världen kan användas för att göra förutsägelser som sedan kan bekräftas empiriskt. Med hjälp av matematik lyckades Newton beskriva planeternas banor utifrån en kastparabel och Einstein lyckades utifrån en matematisk teori förutsäga empiriska fenomen som motsade Newtons teorier. Dagens kvantmekanik och strängteorier är formulerade helt i matematiska termer. Ja, det verkar som om den fysikaliska världen helt enkelt inte kräver annat än matematik för att beskrivas.
Fysikern och matematikern Eugene Wigner publicerade en uppmärksammad artikel 1960 med titeln The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, där han diskuterade det märkliga faktum att matematiken har kommit att utgöra en integrerad del i framför allt fysikens beskrivning av universum. Filosoferna Willard Van Orman Quine och Hilary Putnam formulerade några årtionden senare den så kallade Indispensability Thesis, oundgänglighetstesen, som uttrycker att matematik är en oundgänglig del i varje korrekt beskrivning av universum. Tillsammans med Quines idé att vi förbinder oss ontologiskt till exempelvis tals existens genom att vi håller påståenden som Det finns primtal för sanna, ger denna tes ett argument för ett slags realism: Fysikern hävdar matematiska objekts existens i samma teoretiska ramverk som fysiska objekts och båda är nödvändiga komponenter i en fysikalisk beskrivning av världen.
En uppmärksammad fysiker idag som har tagit detta argument ett steg längre är Max Tegmark. Enligt honom är det meningsfullt att tänka sig universum som en matematisk struktur i betydelsen att alla egenskaper som tillkommer fysiska objekt är matematiska egenskaper. Ett sådant tänkande kunde innebära inte bara att matematiken krävs för att beskriva världen utan att världen är en del av matematiken, att världen är en matematisk modell.
Men, det kan förstås också tänkas att det är just universums matematiska egenskaper som vi hittills har lyckats beskriva vetenskapligt.
